Пифагор и квинтовый круг: математика интервалов

Цикл «Математика и физика музыки» — статья 3 из 10

Две с половиной тысячи лет назад Пифагор Самосский обнаружил связь между музыкой и математикой — и эта связь до сих пор определяет, как мы настраиваем инструменты, строим аккорды и понимаем гармонию. История начинается с простого эксперимента и куска струны.

Монохорд: одна струна — вся музыка

Легенда гласит, что Пифагор проходил мимо кузницы и заметил: молоты разного веса производят гармоничные созвучия. Вернувшись домой, он натянул струну — монохорд — и начал экспериментировать с её длиной.

Вот что он обнаружил: Если прижать струну посередине (соотношение длин 1:2), верхняя половина звучит на октаву выше Если разделить на три части и взять две трети (2:3), звучит квинта Если взять три четверти (3:4) — кварта

Чем проще дробь — тем приятнее созвучие. Это было потрясающее открытие: красота звука подчиняется числам.

> [callout:important] > Пифагорово открытие — одно из первых в истории человечества наблюдений, где субъективное ощущение (приятный звук) оказалось связано с объективной математикой (простые дроби). Этот принцип работает и сегодня.

Соотношения частот

В терминах частот (а не длин) пифагоровы интервалы выглядят так:

| Интервал | Соотношение частот | Пример (от ля 440 Гц) | |---|---|---| | Унисон | 1:1 | 440 Гц | | Октава | 2:1 | 880 Гц | | Чистая квинта | 3:2 | 660 Гц | | Чистая кварта | 4:3 | 586,7 Гц | | Большая терция | 5:4 | 550 Гц | | Малая терция | 6:5 | 528 Гц |

Заметьте закономерность: чем меньше числа в дроби, тем «консонантнее» интервал. Октава (2:1) — самый устойчивый. Квинта (3:2) — следующий. Терции (5:4 и 6:5) — уже менее «спокойные», но всё ещё приятные. Секунды и септимы (соотношения с бóльшими числами) — диссонансы.

Строим звукоряд из квинт

Пифагор пошёл дальше: а что, если строить все ноты только из квинт? Начнём с «до» и будем подниматься по чистым квинтам:

До → Соль → Ре → Ля → Ми → Си → Фа♯ → До♯ → Соль♯ → Ре♯ → Ля♯ → Ми♯ → (Си♯ = До?)

Двенадцать квинт — и мы должны вернуться к исходной ноте! Но вот проблема...

Пифагорова комма

Двенадцать чистых квинт — это умножение частоты на (3/2) двенадцать раз:

(3/2)¹² = 129,746...

Семь октав — это:

2⁷ = 128

Разница: 129,746 / 128 = 1,01364... — примерно на 23,5 цента (почти четверть полутона). Эта разница называется пифагоровой коммой.

> [callout:important] > 12 чистых квинт ≠ 7 октавам. Это фундаментальный математический факт, который невозможно обойти. Из него следует, что идеальный строй, в котором все интервалы чисты, математически невозможен.

Это «лишние» 23,5 цента нужно куда-то деть. В средние века их просто «прятали» в одну квинту, которую делали ужасно фальшивой — так называемая «волчья квинта». Как человечество решало эту проблему — в следующей статье.

Квинтовый круг

Если расположить 12 нот по квинтам замкнутым кругом (игнорируя комму), получится квинтовый круг — одна из самых полезных схем в музыке. По часовой стрелке — квинты вверх, против часовой — кварты (квинты вниз).

Квинтовый круг показывает: Родство тональностей: соседние тональности отличаются одним знаком (бемолем или диезом) Количество ключевых знаков: чем дальше от до мажора, тем больше знаков Строение аккордов: мажорное трезвучие — три соседние ноты квинтового круга

Подробнее о практическом применении — в нашем цикле «Квинтовый круг: навигатор оркестранта».

Пифагоров строй vs чистый строй

Важно различать два «натуральных» строя:

Пифагоров строй — все ноты построены только из квинт (соотношение 3:2). Терции в таком строе получаются «колючими»: большая пифагорова терция = 81/64 (408 центов) — заметно шире чистой терции 5/4 (386 центов). Для средневековой музыки, где терции считались диссонансами, это было нормально.

Чистый строй — добавляется обертон 5:4 для терций. Терции звучат мягко, аккорды «сливаются». Но этот строй не позволяет свободно менять тональность — некоторые интервалы «ломаются».

Оркестр, особенно струнная группа, интуитивно использует элементы чистого строя: играет терции уже, чем на фортепиано, квинты — чуть шире. Это не ошибка, а следование природе звука.

> [callout:tip] > Когда дирижёр просит «сузить терцию» или «расширить квинту» — он просит вернуться к пифагоровым соотношениям. Тюнер покажет «мимо», но ухо скажет «чисто». Доверяйте уху.

Интервалы в центах

Для точного измерения интервалов используют центы — логарифмическую единицу. 100 центов = один равномерный полутон, 1200 центов = октава.

| Интервал | Чистый (натуральный) | Пифагоров | Темперированный | |---|---|---|---| | Чистая квинта | 702 цента | 702 цента | 700 центов | | Большая терция | 386 центов | 408 центов | 400 центов | | Малая терция | 316 центов | 294 цента | 300 центов | | Большая секунда | 204 цента | 204 цента | 200 центов |

Видно, что пифагоров и чистый строй совпадают для квинт, но расходятся для терций. Темперированный строй — компромисс, который «усредняет» всё. Таблица отклонений подробно разобрана в цикле «Интонация струнных».

Почему это важно для оркестранта

Пифагор открыл не просто «формулы для музыки». Он показал, что гармония — это соотношения. Когда вы играете квинту в оркестре, вы не «попадаете в ноту» — вы выстраиваете соотношение 3:2 с другим инструментом. Это принципиально другой подход: не каждый сам по себе, а все вместе, через простые пропорции.

---

← Предыдущая: Обертоны: скрытый хор каждой ноты · Следующая: Проблема темперации →