Физика струны: стоячие волны и гармоники

Цикл «Математика и физика музыки» — статья 6 из 10

Каждый раз, когда вы берёте ноту на скрипке или виолончели, вы создаёте стоячую волну. Каждый раз, когда играете флажолет, вы выбираете, какая именно стоячая волна будет звучать. Физика струны — это фундамент, на котором построено всё семейство смычковых инструментов.

Стоячие волны

Когда струна колеблется, волна бежит от одного закреплённого конца к другому, отражается и бежит обратно. Два встречных потока волн создают стоячую волну: точки, которые не двигаются (узлы), и точки с максимальной амплитудой (пучности).

Главное правило: на закреплённых концах струны всегда узлы (концы не могут колебаться). Между двумя узлами должна помещаться ровно половина длины волны (или целая, или полторы — целое число полуволн).

Это ограничение означает, что на струне могут существовать только определённые волны: Первая мода: одна пучность, длина волны = 2L (где L — длина струны) Вторая мода: две пучности, узел посередине, длина волны = L Третья мода: три пучности, узлы на 1/3 и 2/3, длина волны = 2L/3 n-я мода: n пучностей, длина волны = 2L/n

Каждая мода — отдельный обертон. Все они звучат одновременно, создавая сложный тембр инструмента (подробнее — статья об обертонах).

Формула Мерсенна

В 1636 году французский монах Марен Мерсенн вывел формулу, связывающую частоту колебания струны с её физическими свойствами:

f = (1/2L) × √(T/μ)

где: f — частота (Гц) L — длина колеблющейся части струны (м) T — натяжение (Н, ньютоны) μ — линейная плотность (кг/м — масса единицы длины)

> [callout:important] > Из формулы следует: частота обратно пропорциональна длине (укоротил вдвое — звук на октаву выше), пропорциональна корню из натяжения (чтобы поднять на октаву натяжением, нужно увеличить его в 4 раза) и обратно пропорциональна корню из плотности (толстая струна звучит ниже).

Три способа изменить высоту

Формула Мерсенна показывает три «рычага» управления высотой:

1. Длина (L). Когда вы прижимаете струну пальцем, вы укорачиваете колеблющуюся часть. Зависимость прямая: полдлины — октава выше, треть — дуодецима (октава + квинта). Именно так устроена аппликатура.

2. Натяжение (T). Когда вы крутите колок, вы меняете натяжение. Зависимость корневая: чтобы поднять на полтона, натяжение нужно увеличить примерно на 6%. На практике — один-два оборота тонкого настройчика.

3. Плотность (μ). Это фиксированный параметр для каждой струны. Четыре струны скрипки (ми, ля, ре, соль) имеют разную толщину и разную намотку именно для того, чтобы при одинаковой длине и похожем натяжении давать разные частоты.

> [callout:tip] > Почему струна соль на скрипке обмотана серебряной проволокой? Чтобы увеличить плотность без увеличения толщины. Толстая жильная струна была бы слишком жёсткой и плохо бы колебалась. Обмотка добавляет массу, сохраняя гибкость.

Флажолеты: выбираем обертон

Флажолет — это способ «убрать» основной тон и услышать чистый обертон. Когда вы легко касаетесь струны (не прижимаете к грифу, а именно касаетесь), вы создаёте дополнительный узел в этой точке. Волны, имеющие пучность в месте касания, подавляются; волны, имеющие узел — продолжают звучать.

Касание посередине (1/2 длины): подавляется основной тон (у него тут пучность), звучит 2-й обертон (октава) — у него тут как раз узел.

Касание на 1/3 длины: подавляются 1-й и 2-й обертоны, звучит 3-й (дуодецима).

Касание на 1/4 длины: остаётся 4-й обертон (две октавы).

Каждый последующий флажолет тише и труднее для извлечения, потому что нужно точнее попадать в узел, и подавляемых мод становится больше.

Жёсткость и ингармоничность

Формула Мерсенна предполагает идеальную гибкую струну. Реальные струны имеют жёсткость — они сопротивляются изгибу. Из-за этого обертоны реальной струны звучат чуть выше, чем предсказывает теория. Эффект тем заметнее, чем выше обертон и чем толще/жёстче струна.

Для стальных фортепианных струн ингармоничность значительна: 20-й обертон может быть на 20+ центов выше расчётного. Именно поэтому настройщики «растягивают» октавы на фортепиано.

Для скрипичных струн (тонких, гибких) ингармоничность минимальна — обертоны почти точно кратны основной частоте. Это одна из причин, почему струнные инструменты так хорошо звучат в ансамбле: их обертоны точно совпадают друг с другом.

Закреплённая vs свободная струна

Интересный факт: если бы струна была свободна на концах (не закреплена), на её концах были бы не узлы, а пучности. Это невозможно для струнного инструмента, но именно так работают духовые: воздушный столб в открытой трубе имеет пучности давления на открытых концах. Подробнее — в следующей статье.

---

← Предыдущая: Резонанс и симпатические колебания · Следующая: Физика духовых →

---

Хотите поэкспериментировать с флажолетами? Приходите в оркестр — покажем на настоящих инструментах.